東京大学 前期 2005年 第5問 (問題)

を1以上の整数とする． 数字が書かれたカードを1枚ずつ，計枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

1. (i)　甲が1枚カードをひく． そのカードに書かれた数をとする． ひいたカードはもとに戻す．

2. (ii)　甲はもう1回カードをひくかどうかを選択する． ひいた場合は，そのカードに書かれた数をとする． ひいたカードはもとに戻す． ひかなかった場合は，とする．

   の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

3. (iii)　の場合は，乙が1枚カードをひく． そのカードに書かれた数をとする． ひいたカードはもとに戻す． の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

4. (iv)　の場合は，乙はもう1回カードをひく． そのカードに書かれた数をとする．

   の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを，の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

1. 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率をを用いて表せ．

2. 甲が2回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率をを用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．