東京大学 前期 2004年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた関数

を一階微分すると

だから増減表は以下のようになる．

よってグラフは上図のようになる． の解の個数は，グラフ上のとの共有点の数に等しいから

である．

(2)

新しく

とおくと，題意の方程式は

である．従ってとおくと

だから，この解は平面上のとの共有点に対応し，(1)の結果でとすれば解の個数とその時の解の値は

1. の時 に 個 \

2. の時 または の 個 \

3. の時 に 個

となる．

だからさらにこの範囲に気をつけてとの対応関係を(1)からまとめて

となる．

(3)

を満たす実数 が 個であることを数学的帰納法で示す．

の時は(1)から成立するので，以下 での成立を仮定する． つまり なる は (1)のグラフより に 3 つある．それぞれをとすると，はそれぞれ仮定より個の解があるから，はについて合計で

個の解を持つ．よって でも主張は成立し，数学的帰納法により解の数は任意のに対して個である．とすれば題意の主張は示される．\qed