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東京大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2003年 第5問 (解答解説)

📝 問題

さいころを回振り， 第1回目から第回目までに出たさいころの目の数個の積をとする．

  1. が5で割り切れる確率を求めよ．

  2. が4で割り切れる確率を求めよ．

  3. が20で割り切れる確率をとおく． を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

がで割り切れる確率は

である．

(2)

排反事象を考えると，「4が1回も出ない」かつ「2，6が0回or1回」の時である． それぞれの確率は

が出ないがでないかつが回出る

だから，求める確率をとすると

である．

(3)

事象 $A$（$4$の倍数），事象 $B$（$5$の倍数），および事象 $C = A \cap B$（$20$の倍数）の包除関係

図 1: 事象 （の倍数），事象 （の倍数），および事象 （の倍数）の包除関係

まずがでもでもわり切れない確率を考える． これはが出ず，かつかが回以下出る時で，(2)と同様にそれぞれの確率は

が出ないが出ないかつが回出る

だから，

である．

がで割り切れる事象を，がで割り切れる事象を，がで割り切れる事象を，がで割り切れない事象をとするとだから包除原理よりは

だから，は

である．よって求める極限値は

である．

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