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東京大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2003年 第2問 (解答解説)

📝 問題

を原点とする複素数平面上で6を表す点を，を表す点をとする． ただし，は虚数単位である． 正の実数に対し，を表す点をとる．

  1. を求めよ．

  2. 線分の長さが最大になるを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

複素数平面における点 $A, B$ と $\angle APB = \dfrac{\pi}{4}$ を満たす動点 $P$

図 1: 複素数平面における点 と を満たす動点

点Xを表す複素数 とする． 又 とすると から であり， また

である．

(1)

の計算をするので，を計算すれば良い． (式1)に注意して

だから辺々割り算して

となり，から偏角を取ると

だから

である．

(2)

線分の長さはに等しいから，(式1)より

だから，これが最大になるを求めれば良い．と変換すると

である．つまりの時はである． そこで以下として，右辺をで割ると

だから，，つまり で は最大でこれは より大きいので，もとめるは

である．

\bf[別解]

(2)

中心 $C(3+4i)$，半径 $5$ の円と $|OP|$ を最大にする点 $P(6+8i)$

図 2: 中心 ，半径 の円と を最大にする点

(1)の結果より，円周角の定理から は図のような中心 ，半径5の円弧上を動く．この円弧は原点を通る． したがって が最大なのは，が線分にある場合つまり の時で， この時

より， である．

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