東京大学 前期 2002年 第2問 (解答解説)

【解答】

題意より次関数として

とおく．

(1)

(式1)の両辺に をかけて

である．一方で(式1)でとして

である．従って(式3),(式4)で係数を比較して

である．よって題意は示された．

(2)

(式1)でとして

だから，初項は

である．(式5)から帰納的に である．

そこで以下とが互いに素であることを示す． 数学的帰納法によって題意を示す．

の時，(式7)よりは互いに素である．

次にに対してとが互いに素であると仮定する． (式5)より「 と が互いに素」 「 と が互いに素」だから，仮定より と も互いに素である．

以上から数学的帰納法により任意のについては互いに素である． よって題意は示された．