東京大学 前期 2001年 第2問 (解答解説)

【解答】

表記の簡潔さのため，また明らかな時はなどと引数を略記する． 与えられた関数方程式

について考える．式中に現れる積分についてを分離すると

である．ここで簡単のため

とおくと(式2)に代入して

である．(式1)に代入して

である． さらに左の括弧内を ，右の括弧内を として:

(式6)に代入すると

である．(式3)の右辺に代入すると

および

となる．(式11),(式14)をの定義式(式7)に代入すると

である．

さて，(式8)から が一意に定まることが が一意に定まることの必要十分条件である．そこで(式16)でが一意に定まるようなの条件を求める． まずの時は不適だからこれ以外で考える．すると(式16)の二式は平面における直線を表し，解は二直線の交点である．よってこれが一意に定まるのは二直線が平行ではない時で，条件は

である．このもとで(式16)を解くと

であり，(式8)に代入して求めるは

である．

【別解】

(式16)からの議論は以下のようにしても良いだろう． (式16)の和差をとって

である．

以上から，求める条件は つまり である．