東京大学 前期 2001年 第6問 (解答解説)

【解答】

の 回目の試行後の座標を とする． またを，それぞれなる場合の数とする． すると全体の場合の数が通りだから

である．

(1)

題意から帰納的に任意の に対して

が成り立つ． したがって 回目に となるのは以下の場合である．

1. の時に裏が出る: 場合の数 \

2. の時に表が出る: 場合の数

したがって求めるは(式1)より

である．

(2)

初期条件の元で(式3)の漸化式を解く． によって を定める． (式3)の両辺を でわって

である．よりの元で漸化式を繰り返し用いて一般項は

である．

(3)

の期待値 を求めれば良い．ここで，確率変数 を以下のように定める．

すると，題意から

である． 回目で が進むのは以下の時である：

1. コインで表が出る．確率: \

2. かつコインで裏が出る．確率:

従って

である． の時， であるからこれも良い．

ここで(1)及び(2)，対称性から であることから，

だから，(式10)に代入して

となる．(式9)に代入して

である．