東京大学 前期 2001年 第5問 (問題)

容量1リットルの個のビーカー(ガラス容器)に水が入っている． で空のビーカーは無い． 入っている水の総量は1リットルである． またリットルの水が入っているビーカーがただ一つあり， その他のビーカーにはリットル未満の水しか入っていない．

このとき，水の入っているビーカーが2個になるまで， 次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う．

1. (a)　入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．

2. (b)　さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．

3. (c)　次に，(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて移し， 空になったビーカーを取り除く．

この操作の過程で， 入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは， そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

1. のとき， 最初にリットルの水の入っていたビーカーは， 操作の途中で空になって取り除かれるか， または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ．

2. のとき， 最初にリットルの水の入っていたビーカーは， 最後までリットルの水が入ったままで残ることを証明せよ．