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東京大学 前期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2001年 第4問 (解答解説)

📝 問題

複素数平面上の点を により定め， とおく． ただし，は虚数単位である．

  1. 3点，，を通る円の中心と半径を求めよ．

  2. すべての点 は円の周上にあることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた漸化式

について考える．

(1)

複素数平面における 3 点 $b_1, b_2, b_3$ とそれらを通る円 $C$

図 1: 複素数平面における 3 点 とそれらを通る円

(式1)から だから，

である．これら3点を通る円の中心は， の垂直2等分線の交点で， 図から である． この時半径は

である．

(2)

任意の に対して は円 の周上にあることを数学的帰納法で示す． (1)から では成立するから，以下 での成立を仮定し ()て での成立を示す．(式1)より

である．よって だから逆に解いて

である．

さて，仮定よりは上にある． よって であり，両辺 以上から2乗して

である． ここで(式1)から漸化的に だから， である．よって両辺を で割って

式

である． 共に 以上だから，

であり も 上にある．

よって数学的帰納法により題意は示された．

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