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東京大学 前期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2002年 第4問 (解答解説)

📝 問題

は正の実数とする． 平面の軸上に点をとる． 関数のグラフをとする． 上の点で次の条件を満たすものが原点以外に存在するようなの範囲を求めよ．

条件：におけるの接線が直線と直交する．

✏️ 解答解説

【解答】

曲線 $y = f(x)$，点 $Q$ における接線 $\ell$，および法線 $PQ$ の配置

図 1: 曲線 ，点 における接線 ，および法線 の配置

与えられた曲線を

とする．点をとおく．

だから，点におけるの接線の方向ベクトルは

である． 一方で

だから，となる時，すなわちとなる時

である．

(式5)とを満たす実数の存在条件をもとめる． (式5)の両辺をで割って

である．(式6)の解は平面上でのの共有点と等しいから， に共有点を持つ条件を調べる． そこでの挙動を調べる． とおくと であり

および一階微分は

だから，従っては単調増加である．増減表およびグラフは以下のようになる．

表 1: の増減表 ()

$y = g(t)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点（$a > \dfrac{1}{2}$ の条件）

図 2: のグラフと直線 の共有点（ の条件）

従って求める条件は

である．

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