東京大学 前期 2002年 第6問 (問題)

を正の整数とする． 2個の項からなる数列を

という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする． 並べ替えた数列はを初項とし， の次に，の次にが来るようなものになる． また，数列をシャッフルしたときに得られる数列において， 数が現れる位置をで表す．

たとえば，のとき， をシャッフルするととなるので，

である．

1. 数列を3回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ．

2. を満たす任意の整数に対し， はで割り切れることを示せ．

3. を正の整数とし，のときを考える． 数列を回シャッフルすると， にもどることを証明せよ．