東京大学 前期 2002年 第3問 (解答解説)

【解答】

だからであり，よって球面は半径でその方程式は

である． を直径とする球面をとすると，の中心はの中点で，とおくとであるからの方程式は

である． 点はの外部だから

が成立する． このもとでは必ず交円を持つ．ここでに対し

で表される方程式はを解に持つからの交円を通る． の時(式5)は平面の方程式になり，またLはただ1通りに定まるからこれがに他ならない．したがって，(式1),(式3)を代入して

である．とはそれぞれ点と平面との距離だから，点と平面の距離の公式から

である．

だから題意の条件に代入して，

である．絶対値を外して

である．後者は前者に含まれるから

である．

従って(式4),(式12)が求める条件で

である．これを図示すると下図の斜線部のようになる（平面の切断面）．

この体積はが半径の球（中心）に点で内接し完全に含まれることから， この二つの球の体積の差で

となる．

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