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東京大学 前期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2001年 第3問 (解答解説)

📝 問題

実数に対し， 平面上の点，，を頂点とする 三角形の面積をとし， 線分，と双曲線とで囲まれた部分の面積をとする．このとき

とおくと，関数はにおいてつねに減少することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

双曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ と面積 $a(t)$（$\triangle OPQ$），$b(t)$（扇形領域 $OPQ$）

図 1: 双曲線 と面積 （），（扇形領域 ）

，，からなる三角形の面積はサラスの公式から

である．

次に から 軸に下ろした垂足を とすると

図形

である．(式2),(式5)からは

である．一階微分を計算すると

である．この符号は大括弧内の符号に等しいからこれをとおく：

と，一階微分は

であり，よりを満たす，すなわちは単調減少である． よってでは

である．従って(式10)でとなりはで単調減少である．よって題意は示された．

表 1: および の増減表 ()

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