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東京大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 2000年 第3問 (解答解説)

📝 問題

とする． 正の整数に対して，区間を等分する点の集合

の上で定義された関数があり，次の方程式を満たす．

ただし，，である．このとき，以下の問いに答えよ．

  1. とおいてを求めよ．

  2. とおく．を求めよ．

  3. それぞれの場合について， のでのグラフをかけ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

簡単さのため とおくと，題意の方程式は

である．

まず任意のについてであることを背理法で示す． に対してと仮定する．(式1)の第二式でを代入するととなり，帰納的にとなるが，これは(式1)でに反して矛盾である．よって背理法により

である．

そこで(式1)の第二式の両辺を で割って，より

だから，くり返し用いて より，

である．

(2)

(式4)でとするとだから

である．を代入して

だから整理しては

(3)

について個別に検討する．いずれもに注意する．

の時

を(式10)に代入して

だから一階・二階微分は

となって， は単調減少かつ下に凸である． また極限値は

での増減表は以下のようになる．

（下に凸）

表 1: のときの の増減表

の時

を(式10)に代入して

である．

の時

を(式10)に代入して

だから一階・二階微分は

であり，極限値は

である．従って増減表は以下のようになる．

表 2: の時のの増減表

以上からグラフは下図のようになる．

$c = 2, 1, \dfrac{1}{4}$ における極限関数 $g(x)$ のグラフ

図 1: における極限関数 のグラフ

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