東京大学 前期 2000年 第1問 (解答解説)

【解答】

BCの中点を原点とする座標系をおき，とする． 対称性から楕円の中心は軸上にあるのでこれを とすると， として楕円の方程式は

とかける．ただし

ここで， なる変換を行うと楕円の方程式は

へ，直線AB: は，

へ各々うつる．

以下，直線ABと楕円が接する条件をかんがえる．対称性から，この時ACと楕円が接する条件も同じである． 変換後の座標で と の距離が なら良いので，

を得る．両辺 以上だから2乗して，

である．

ここで(式2)よりだからと合わせて

である．

楕円の面積 は(式7)より

である．一階微分は

だから，増減表は以下のようになる．

したがって， は で最大値

をとる．