東京大学 前期 2000年 第5問 (解答解説)

【解答】

の整数を足して になる2つずつで組をつくると以下の5組が存在する．

である．

(1)

S のうち4桁の物を以下のように構成できる． まず(式1)の中から相異なるつの組を選ぶ． つの組から数字を一つづつ選び，選んだつの数字を千の桁にがこないように注意しながら配置した物である．

千の位にに来てもいい時の場合の数は，

である．このうち千の位が0であるのは，

だから，求める数は である．

(2)

(1)と同様に数えると，

1. 1ケタのもの 9個 \

2. 2ケタのもの 72個 \

3. 3ケタのもの 432個

だから，Sの要素を小さいものから並べた数列 において，4桁の数は ，つまり は 4桁の数である．

の4桁の数のうち4ケタ目が () であるものは (式3)と同様に数えて 192個 あるから，

をみたす は， であることとあわせて， の千の位は 8 である．さらに， は 千の位 が 8 であるもののうち，小さい方から数えて，

である．

次に百の位について千の位がの時は(式1)のうち残り A， C， D， E から 3つをえらぶことより，3位が () である場合の数は，

である．よって，

をみたす は だから，6番目の数字である が百の位である．

は の形でかける の要素のうち大きい方から

で，順に書き下すと，， だから求めるのは

である．