東京大学 前期 1999年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

とすると の時，

である．分母分子がで割り切れる回数を数える．

分子は

2で割り切れる．一方 の時分母は，

2で割り切れる．ここで，ガウス記号の性質から，

であり， の時明らかに等号不成立だから， として足し合わせて，

だから，分子の方が多く 2で割り切れるので， は偶数である． \hfill

(2)

まず が偶数の時は で不適だから， 以下 が奇数の時を考える． この時は を奇数，として とおける． の時を考えよう． この時は とすると を満たし，

だからが偶数になってしまって不適である．

従って が必要である．この時であって，に対して

が成り立ち，(1)より第一項は偶数である．

これと だから，帰納的に となり十分である．

以上から求めるは

である． \hfill