【解答】
図 1: 単位球内部の球面 （ 平面），（ 平面）および共通点 の配置
題意の条件より は 上かつ 上だから， が存在する平面の交線 軸上にある．
そこで とおく．は原点中心半径の球の内側だからが必要で，対称性よりの場合のみ考えればよく
とする．
の中心を ，半径を とおいての最大値を求めれば良い．
対称性からの中心が
にあるとして考えれば十分である．この時の中心についても同様にとしてよく，またと一点しか共有しないことからである．すなわち
とする．
について
図 2: 平面における円 ，接点 への動径直線，および角
円は平面にあって，を通り，の領域にある．
半径が最大の場合を考えれば良いから，がと接する場合を考えよう．
するとである．
また， とおくと(式2)から
である．
の時は である．
一方 の時は が存在し，これに余弦定理を用いて
である．これはでも成立する．
従って 及び (式4)から， は の時に最大値
をとる．
について
図 3: 平面における円 ，接点 への動径直線，および角
この場合も，を最大にするのは円がに接する場合であるからそのケースを考える．
するとであって，
とおくと(式3)より
である．
の時 である． の時は が存在し，余弦定理から
である．これはでも成立する．
従って は で最大値
をとる．
以上(式9),(式15)から，半径の和の最大値 は， を固定した時，
である． で を動かすとは の時に最大値
をとる．
