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東京大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1998年 第4問 (解答解説)

📝 問題

実数に対してを満たす整数をで表す．を正の整数として，

とおく．個の整数

のうち相異なるものの個数をを用いて表せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数

について考える．一階微分は

だから，ではとなりは単調増加であり，グラフの概形は以下のようになる．

関数 $y = f(x)$ の概形と主要点における値

図 1: 関数 の概形と主要点における値

従って，に対して

ならならならなら

である．ただし

とした． 具体的にを計算すると

だからは

である． よって の解は，二次方程式の解の公式より

となる． ここで

だから

および

となって，のグラフは下図のようになる．

$y = g(x)$ の概形と $g(k) \ge 0$ を満たす整数 $k$ の範囲

図 2: の概形と を満たす整数 の範囲

数列 $[f(k)]$ の単調性と各区間における値の分布状況

図 3: 数列 の単調性と各区間における値の分布状況

従って の範囲で すなわち となる は，

である．(式1) より

の時の時の時の時たちはからの範囲内全ての整数を取るの時たちは全て異なる値を取るの時たちはからの範囲内全ての整数を取る

となり，特に

だから求める個数は

個

である．

【別解】

の評価に平均値の定理を使える． 平均値の定理から

を満たす がある．との大小を比べると

だから，

の時の時の時

となって[解答]に帰着する．

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