【解答】
一辺 として考えて良い．
座標平面上に正三角形をと配置し，これをタイル上に敷き詰めた下図のような状況を考える．
題意のように三角形内を反射する光線は，この座標平面上で直進する光線と一対一に対応する．停止する条件はこの平面上でいずれかの頂点に光線が到達した時である．
図 1: 正三角形タイリングの折り返し展開と直進する光線
三角形の格子の頂点はとして
と表せる．
(1)
図 2: (1) のときの光線の軌跡
の時，平面上で光線が である．上の点はパラメータ表示するとに対してで表されるから，これが(式1)と重なる時，座標を比較してであることが必要である．それぞれの場合に座標が一致するかを確認する．
の時
この時は(式1)より
であり，これを満たす最小のおよび非負整数はである．対応する頂点はよりである．
の時
この時は(式1)より
だが，これを満たす整数は存在せず不適である．
以上より求める頂点はである．
(2)
図 3: (2) のときの光線 の様子
この時は光線の直線は だから，
上の点はパラメータ表示するとである．
これが(式1)の形で表される時が必要である．それぞれの場合に座標が一致するかを確認する．
の時
この時は(式1)より
であり，これを満たす最小のおよび非負整数はである．の時の頂点はその 座標を3でわってあまると だから，より求める頂点はである．
この時の反射回数は， と各直線(AB， BC， CA)の共通点の数に等しい．座標がより大きいかどうかで場合分けして考える．
まず すなわちの時，の区間で本の，の区間で各々本の直線と交わるから合計本と交わる．の時も全く同様にして本と交わる．
の時は だからここで交わる直線は のみで1本である．以上から合計で
回反射する．
の時
この時は(式1)より
だが，これを満たす整数は存在せず不適である．
以上から求める頂点はで反射回数は回である．
