東京大学 前期 1997年 第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた条件

について考える． また，である．

(1)

まず題意の条件 から は線分 の垂直2等分面 上にあるので，実数を用いて と表せる． この時最後の条件について考えると

に具体的な座標を代入して

であるから，これを満たす の存在条件をしらべれば良い．

(式5)において(式1)から左辺は以上だから，右辺も以上であることが必要である．逆にこの時(式5)は楕円の方程式になって必ずこれを満たすが存在して十分である．以上から求める の存在条件は(式1)と合わせて

である．

(2)

が(1)の条件を満たしているとして以下話を進める．の内積を計算すると

であるから，以下この最大最小について考える．

(式5)を平面に図示すると以下のようになる．

従って図からのとりうる値は

だから，この両端をとして(式10)から

となる．両辺にをかけての極限を取ると

である．