【解答】
(1)
立方体の一辺の長さ，球の半径とする．
まず立方体の各面が球と接する場合を考えると，下図から球の直径が立方体の一辺に等しく
である．
図 1: 立方体の各面に球が接する様子（中心を通る主断面）
がこれより大きいか小さいかで場合分けする．
の時
図 2: のとき，点 から頂点が1つも見えない状況
この時は立方体の表面の正方形に平行なの接平面の接点(下図の)から立方体の頂点が1点も見えないから，与えられた条件を満たさない．
の時
図 3: のとき，任意の点 から頂点が見える様子
この時は球面上の任意の点は立方体の内部又は表面にある．
この時，全ての頂点が見えない上の点が存在すると仮定すると，点におけるの接平面に関してが同じ側にあることになる．
すなわち立方体が点の接平面に対し片側（接平面を含まない）だけにあることになるが，この時点は立方体の外部（表面を含まず）の点となり矛盾する．
よって背理法により，この時は上の任意の点からいずれかの頂点が見える．
以上の場合分けより求める条件は
である．
(2)
立方体の頂点を以下のように配置する．
図 4: 立方体の頂点 の配置と四面体
正四面体を考えるとこの1辺は である．
この内接球の半径をとする．四面体の体積は，底面\triangle，高さの三角錐つの体積であり，または一辺の立方体からつの三角錐を取り除いた部分の体積でもある．
図 5: 立方体内部の正四面体 と中心 から面への垂線
従って
である．がこれより大きいか小さいかで場合分けする．
の時
図 6: のとき，接点 から高々1頂点しか見えない状況
この時，平面に平行なの接平面の接点からは高々点しかみえないから不適である．
の時
図 7: のとき，常に2点以上の頂点が見える様子
この時はまず をみたすから(1)より上の全ての点から少なくとも1つの頂点がみえる．ここで，上のある点に対して1点しかみえないと仮定し，対称性からそれをとする．
線分 ととの交点のうちに近い点において，辺 (は含まず)と交わり，かつ平面に平行なの接平面が存在する．この時 となり，に矛盾する．
よって背理法より，この時は少なくとも点が見える．
以上から，もとめる条件は
である．
