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東京大学 前期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1996年 第5問 (解答解説)

📝 問題

空間内の円柱，を側面とする容器に， 水面がと一致するようにの部分に水がはいっている．

に対して定義された連続な関数で，をみたすものを考える． 平面内の不等式，で表される領域を 軸のまわりに1回転してできる回転体を 毎秒1の速さで下に動かすと， 秒後には水面がに上昇するという．

に対し，であるとき，関数を決定せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

容器の断面（時刻 $t=0$ における初期水面と回転体）

図 1: 容器の断面（時刻 における初期水面と回転体）

容器の断面（時刻 $t=t$ における回転体の水没と水面上昇）

図 2: 容器の断面（時刻 における回転体の水没と水面上昇）

題意より，容器の の部分の体積が，回転体の先端()からまでの部分の体積に等しいので，

を代入して両辺で割って

である．両辺をで微分して

である． の定義域は だからで とおけて

である．このうち をみたす複号正を採用して

である．これは題意の条件を満たして十分である．

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