【解答】
パラメータを用いて
上の点は とかける．また題意よりである．
図 1: 単位円盤 とそれに含まれる楕円 および動点
(1)
がに含まれる条件は，上の任意の点が原点との距離が以下であること，
すなわち
が任意ので成立することである．
展開して整理して
である．(式3)の左辺をとおくと
だから，一階微分は
である．はたかだか一次関数で，両端での値は
である．だから，の正負に応じての増減表は変化する．
の時
は高々1次関数であるから，でであり，は単調増加であり，増減表は以下のようになる．
表 1: の増減表 ( のとき)
したがって，この区間でのの最大値はだから， ならば(式3)をみたす．よって求める条件は
である．
の時
は高々の1次関数だからで一回だけ符号を変える．
だから，の増減表は以下のようになる．
表 2: の増減表
したがって， なら条件をみたす．
より だから，両辺 をかけて，求める条件は
である．
(式7),(式9)をまとめて求める条件は，
である．これを図示して下図斜線部（境界は軸のみ含まず）である．
の条件を満たす $(\alpha,\beta)$ の存在領域](/Univ_EntranceExam_Math_Collection/images/tikz/utokyo/zenki/1996/6/fig_2.svg)
図 2: (式10)の条件を満たす の存在領域
これは(式10)をまとめ直せば
である．
(2)
楕円の面積は だから，が最大の時にも最大である．以下を固定して考える．(式11)からがより大きいかどうかで場合分けして考える．
で は最大値
をとる．この右辺をとおいて次にを動かす．
一階微分は
だからの増減表は以下のようになる．
表 3: の増減表
したがって，の時に
をとる．これはの時の最大値(式12)よりも大きい．
以上 から だから，
求めるの最大値は
である．
