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東京大学 前期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1995年 第6問 (解答解説)

📝 問題

原点をとする平面上の双曲線

上の点における接線と2つの漸近線との交点を，とする． このとき以下の問いに答えよ．

  1. 三角形の面積は，点のとり方にはよらず，，によって定まることを示せ．

  2. ，として実数を変化させるときのの最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ の接線 $l$ と漸近線の交点 $Q, R$ がなす三角形 $\triangle OQR$

図 1: 双曲線 の接線 と漸近線の交点 がなす三角形

本の漸近線は

であり，での双曲線の接線は

である．(式1),(式2)の交点はまずを消去して

だから対応しては

である．ここで簡単のために

とおくと，これらは

である．したがってサラスの公式から三角形の面積は

となる．これは，によらない定数であるから題意は示された．

(2)

とするとが任意実数だからである．(式11)に代入して

であるから以下この最小値を求める． 一階微分を計算すると

だからの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがってが最小になるのはの時で (式13)に代入して求める最小値は

答

となる．

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