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東京大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1994年 第6問 (解答解説)

📝 問題

平面上の2点，に対し， とを軸または軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの 経路の長さの最小値をで表す．

  1. 原点と点に対し， を満たす点の範囲を平面上に図示せよ．

  2. 実数に対し，点を考える．

    次の条件(＊)を満足する点の範囲を平面上に図示せよ．

    1. (＊)　原点に対し， となるようなが存在する．
✏️ 解答解説

【解答】

(1)

原点 $O(0,0)$，点 $A(1,1)$ と動点 $P(X,Y)$ の間の距離 $d(O,P), d(A,P)$ の状況

図 1: 原点 ，点 と動点 の間の距離 の状況

一般に2点，に対し，

である． そこでとおくと，

，

である．よって題意の条件は

だからとおけば

である．の具体的な関数形は

，，

だからのグラフは下図のようになる．

関数 $f(t) = |t| - |t-1|$ のグラフ

図 2: 関数 のグラフ

このグラフはを軸に点対称だから(式4)の条件は

  1. かつ \

  2. かつ \

となる．これを図示すると下図の斜線部（境界含む）となる．

(1) における点 $P$ の存在範囲（斜線部および境界線）

図 3: (1) における点 の存在範囲（斜線部および境界線）

(2)

(1)と同様とおく．だから

であり，題意の条件は

である． よってこれを満たすが存在するようなを求めれば良い． 絶対値を外す場合分けは

で合計通りである． また

よりである．

絶対値の符号に応じた $(X,Y)$ 平面の 9 分割と検討対象領域（ア, イ, ウ）

図 4: 絶対値の符号に応じた 平面の 9 分割と検討対象領域（ア, イ, ウ）

各場合における(式7)を表にまとめると以下のようになる．

(不適) (不適) (不適)
(ア) (イ) (ウ)
(不適) (不適) (不適)

表 1: 点の位置による場合分け

各領域を順番に考える． まずより，表の四隅の場合を満たすは存在せず不適である．

また，，の場合には

が必要だがこれを満たすも存在せず不適である．

以上よりの場合だけを考えればよい． この時の(式7)を満たすは図示すると下図のようになる． ここでより

だから，の条件は常に満たされることに注意して以下各場合を考える．

$0 \le Y \le a^2+1$ における各区間（ア, イ, ウ）の $(X, Y)$ の関係と上限 $Y = a^2+1$

図 5: における各区間（ア, イ, ウ）の の関係と上限

(ア) のとき

前述のように以外の条件を考えればよく， この時，

の範囲は

，

である．

（イ）のとき

前述のように以外の条件を考えればよく，

の元で

の右辺の値域を考えて

となる．

(ウ) のとき

前述のように以外の条件を考えればよく， の表式

の値域をで考えると

，

である．

以上(式18),(式20),(式22)をまとめると，求める範囲は

，，

である．図示すると下図の斜線部となる（境界を含む）．

(2)の点$P$の範囲

図 6: (2)の点の範囲

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