東京大学前期 1994年第5問 (解答解説)

大量のカードがあり，各々のカードにの数字のいずれかの一つが書かれている．これらのカードから無作為に1枚をひくとき，どの数字のカードをひく確率も正である．さらに， 3の数字のカードをひく確率はであり，の数字のカードをひく確率はそれぞれに等しいとする．

これらのカードから1枚をひき，その数字を記録し，このカードをもとに戻して，もう1枚ひき，その数字をとする．このとき，となる事象を，となる事象をとし，それぞれのおこる確率を，と書く．

【解答】

の目が出る確率を

とする．各目が出る確率をまとめると下の表のようになる．

1	2	3	4	5	6

表 1: カードの位置と対応する確率変数

としてとりうる値はの三通りで，それぞれ対応するは以下，以下，以下だから求める確率は

である．

と同様にとしてとりうる値 ()で場合分けして考えると求める確率は

式

である．

(式2),(式4)を足し合わせて

である．

とおく．から，

前者から，

であり，後者から

である．(式9)から左側の不等号の成立は明らかで，右側の不等号について考えると

である．以上(式9),(式11)を満たす自然数の組は以下の表のようになる．

表 2: (式9),(式11) をみたすの範囲

次に(式7)をで書き直すと

である．第二項，第三項に対応する連続化した関数，を用いて

とかけ，のグラフは下図のようになる．

さて，ではもも負で単調減少だから，は単調増加である．従ってを最大にする候補は上表の等号成立時のである．また，については明らかによりもが大きくなる（の条件が同じため）ので考えなくて良い．残りのケースについて具体的にを計算すると以下の表のようになる．

表 3: 候補となるにおけるの値

このうちが最小になるのはの時で，この時が最大である．よって求めるはである．