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東京大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1993年 第5問 (解答解説)

📝 問題

1と0を5個ならべた列10110をある人が繰返し書き写すとする． ただしこの列をで表し， これの第1回の写しをで表すとき， 第2回目に書き写すときはを書き写す． の写しをとするとき， 第3回目にはを書き写す． 以下同様に続ける．

この人が0を1に写しまちがえる確率は であり， 1を0に写しまちがえる確率は であるが， それ以外の写しまちがいはないものとする． 第回目の写しがに一致する確率をとするとき， 極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

左から 番目の数の での値が と一致する確率を とする． 最初の数列がだから，最初の数がかかに応じて，状態遷移図は以下のようになる．

ステップ $n$ から $n+1$ への状態遷移と一致確率 $t_k(n+1)$ の漸化関係

図 1: ステップ から への状態遷移と一致確率 の漸化関係

従ってに関する漸化式は最初の数に応じて以下のようになる．

最初の数がの時，すなわち の時

では 1 だったから， 回目について 回目で場合分けして

を得る． からくり返し用いて

最初の数がの時，すなわち の時

と同様に考えて

を得る． からくり返し用いて

である．

(式5),(式9)から，第回目の書写しでと一致する確率は， の積で

である．だから，での極限値は

である．

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