東京大学 前期 1993年 第6問 (解答解説)

【解答】

与えられた座標を

とする．

(1)

(式1)の両辺をで微分して

だから， とすると，

とおく．

から の増減表は下表のようになる．

したがって より

である．

(2)

(式1)から，およびには以下の対称性がある．

従って，での点を軸を軸に折り返したものがでの点である． そこで点の動く範囲をの範囲で考えれば十分である．

(式2)から，の挙動は以下の表のようになる．

したがって の軌跡が軸対称であることと合わせて，グラフの概形は下図のようになる．

ここで， () の表す曲線の交点が のみであることを示す． の増減及び対称性から の時に共有点がないことを示せば良い． これを背理法で示す． に対応する点で交わっているとすると ()

である．

(式9)の第二式およびから

のいずれかである．以下それぞれ場合分けして考える．

以上よりの時には曲線は共有点を持たず共有点はである． 図形の対称性からの時にを通るから，各場合の速度ベクトルは (式2)に代入して

だから図示して下図のようになる．

【別解】

最後交点の唯一性を示すところは以下のような変形も考えられる． やることは同じなのでのところだけ考えよう．この時は () とおける． (式1)より だから(式9)の第一式において

だが，これらが一致することはないので不適である．よって背理法により交点はない．