東京大学 前期 1993年 第1問 (解答解説)

【解答】

三次元空間において， ， とおく． 四面体は全ての面が合同であることと対称性から， の時のみ考えれば良い．

上図のように3辺の長さが である直方体を考えると， 四面体の体積はこの直方体の体積からつの体積の三角錐を取り除いたもので

である．

そこで以下，をで表すことを考える． 題意より， ， だから ピタゴラスの定理より，

である．各辺足し合わせて

だから(式2)から

となる． に注意して(式1)に代入すると

が求める極限値である．

【解説】

この解答では，直方体の対角線を結んで四面体 をつくると全ての面が合同になるという事実を用いて解答を作った． これはたびたび出てくるので覚えておくと良いだろう．

この事実を知らなくても，以下のようにの座標を直接求めに行くこともできる． 多少計算量は多くなってしまうがやってみよう． とおくと各辺の長さが等しい条件は

である． とおくと

である．第一式と第二式の差分をとって

である．

同様に第一式と第三式の差分をとって

である．

(式12),(式14)から

なる実数が取れる．従って

だから，(式8)の第一式に代入して

である．このうち点がとなるのはの時で，この時となる．