東京大学 前期 1993年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた数列

について考える．

を 2 でわったあまりを とすると， (式1)より

である． が偶数，すなわち であることと が同値であることを帰納的に示す．

まず の時は(式2)より

だから，確かにとである．

そこで次に () の時に題意が成立とすると， の時，(式2)から

だから， でもとである．

以上より数学的帰納法により題意は示された．

(2)

がの倍数であるということは，が偶数かつの倍数であるということである． (1)でが偶数である条件を調べたので，次に が 5 の倍数になる条件を調べる． を 5 でわったあまりを とおくと，(式1)から

より， は， のくり返しであるから， であることはと同値である． (1) と合わせて，

である．