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東京大学 前期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1992年 第2問 (解答解説)

📝 問題

平面において，座標，座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ． 格子点を頂点に持つ三角形を考える．

  1. 辺，それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると， 辺上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．

  2. 辺，上に両端を除いて丁度3点ずつ格子点が存在するとすると， 三角形の面積は8で割り切れる整数であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

点 に対し， とおく．

(1)

成分から偶数 $2$ がくくり出せるとき，線分内部の格子点数が奇数個になる構造

図 1: 成分から偶数 がくくり出せるとき，線分内部の格子点数が奇数個になる構造

上に端点除いて奇数個の格子点がある時， を互いに素な自然数として

とおいて良い．従っては

である． より，の成分はいずれも偶数だから， たしかに 上には端点を除いて奇数個の格子点がある． よって示された．

(2)

$\triangle ABC$と格子点の様子

図 2: と格子点の様子

(1)と同様にしては

とおけるから， の面積 として

である． ここで より，たしかに は 8 の倍数である． よって示された．

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