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東京大学 前期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1992年 第3問 (解答解説)

📝 問題

，を正の実数とする． 座標空間の4点，，，が半径1の同一球面上にあるとき， ，，，を頂点とする四面体に内接する球の半径をとすれば， 次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体 $PQRS$ と外接球の中心 $T\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{b}{2}\right)$

図 1: 四面体 と外接球の中心

を通る半径の円の中心とする． よりは線分の垂直二等分面上にある． 同様に考えて，は，の垂直二等分面上でもある．

の垂直二等分面は, の垂直二等分面は， の垂直二等分面はだから， である．

ここでであるから，

である．

また，四面体の体積を通りで表して，

である．(式1)，(式5)のもとで題意の不等式

を示す．

さて，AM-GMおよび(式1)より，

である．

また，コーシーシュワルツの不等式から，

である．以上に注意する．

(式6)について

(式5)の両辺をで割って整理して，

だから，両辺二乗して

式式

より，(式6)が示された．

(式7)について

(式6)の左辺は(式11)より正だから両辺平方根をとって，

である．ここで右辺についてAM-GMおよび(式8)を用いると

だから(式18)に代入して

となる．故に示された．

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