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東京大学 前期 1992年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1992年 第1問 (解答解説)

📝 問題

は1より大きい定数とし， 平面上の点を， 点を， 曲線と軸の交点をとする． さらに軸，線分および曲線で囲まれた部分の面積をとする．

  1. となるに対し点をとする． 四辺形の面積がにもっとも近くなるようなの値と，そのときの四辺形の面積を求めよ．

  2. のときのの極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

対数曲線 $y=\log x$ と内接四角形 $CDBA$

図 1: 対数曲線 と内接四角形

曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸および直線 $x=a$ で囲まれた面積 $S_1$

図 2: 曲線 と 軸および直線 で囲まれた面積

題意より面積は

で与えられる．

(1)

から軸に下ろした垂足とすると， の面積 は

である．

図より明らかに だから， が最大値をとる時最もに近づき，これが である． (式4)をで微分すると

だから，の増減表は以下のようになる． ただし題意よりであることから，に注意した．

極大

表 1: の増減表

従って求めるは

である．

(2)

(式1),(式7)から，を計算すると

である．第二項の分母分子をで割ると

であって，の極限ではより

である．

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