東京大学 前期 1992年 第6問 (解答解説)
📝 問題
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がグー，チョキ，パーを出す確率がすべて等しいとする． がどのような確率で，グー，チョキ，パーを出すとき， の値は最大となるか． -
がグー，チョキ，パーを出す確率の比が であるとする． がどのような確率でグー，チョキ，パーを出すならば， 任意の ， ， に対し， となるか．
✏️ 解答解説
【解答】
まずは一般的な状況を考える．
Aがグー，チョキ，パーを出す確率を
である．
題意で与えられたじゃんけんの手の組み合わせと歩数を表にまとめると下のようになる．
| A \ B | グー | チョキ | パー |
|---|---|---|---|
| グー | Bが3歩 | Aが6歩 | |
| チョキ | Aが3歩 | Bが5歩 | |
| パー | Bが6歩 | Aが5歩 |
表 1: じゃんけんの手の組み合わせと歩数
A，Bの一回のじゃんけんでの歩数を
である．Aの進む歩数からBの進む歩数を引いた値の期待値
だから，(式2)を代入して
となる．
(1)
Bがグーチョキパーを出す確率がすべて等しい，つまり
である．等号成立は
の時である．
(2)
(式4)が任意の
である．(式8)が成り立つためには全ての等号が成立することが必要で
が必要である． (式1)に代入して成立すると
である．
逆にこの時，(式4)は
となり条件を満たす．
よって求める
である．