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東京大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1991年 第6問 (解答解説)

📝 問題

はで定義された連続な関数で， ならば，つねにであるものとし， とおく． このとき，であり， さらに任意のに対して， 原点と点，原点と点を結ぶ2直線と 曲線とで 囲まれる部分の面積はに等しいものとする．

  1. ，をそれぞれの関数として表せ．

  2. に対して，とおく． 積分の値を求めよ．

  3. 関数を決定せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

単調減少関数 $y = f(t)$，面積 $S(x)$ および各領域

図 1: 単調減少関数 ，面積 および各領域

題意から，はで単調減少な正の値をとる関数である． または

である．

次に，に関する面積の条件より

である．

(式1)の両辺をで微分すると

だから，(式4)と合わせてを消去すると，として

である．でだから(式1)よりとなるので，変形して

である．積分して題意の条件より，

である．(式4)から

である．以上まとめて

である．(答)

(2)

とおくと，初期条件である． (式10)の第二式ににを代入して，

である．が階差数列だから，のとき

である．

従って求める積分値は

である．

(3)

だからである．これと(2)の積分計算から，被積分関数が恒等的にである． 従って(式16)から

である． これはで定義された，連続な単調減少関数であり十分である． 以上から，

である．(答)

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