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東京大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1991年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面上，座標，座標がともに整数であるような点を格子点とよぶ．

各格子点を中心として半径の円がえがかれており， 傾きの任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという． このような性質をもつ実数の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

格子点を中心とする円群と直線 $2x - 5y + a = 0$ の位置関係

図 1: 格子点を中心とする円群と直線 の位置関係

を実数として，題意の直線は

と表せる． これと中心，半径の円が共有点をもつので， と直線の距離が以下だから

である．を動かした時に常にこれを満たすがあるようなの最小値を求めれば良い．

ここで だから は全ての整数値をとる． 従って の小数部分 とすれば

である．従って(式3)に代入して，いずれの場合も

である．従って求めるの最小値は

である．

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