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東京大学 前期 1991年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1991年 第2問 (解答解説)

📝 問題

，，を正の実数とする． 空間において，，，をみたす点からなる板を考える． 点光源が平面上の楕円，の上を一周するとき， 光が板にさえぎられて平面上にできる影の通過する部分の図をえがき，その面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

点光源による射影の空間配置

図 1: 点光源による射影の空間配置

点光源の座標は

と書ける．

また， とおく． 点を固定した時，と 平面の交点を とおく． 点 が四角形に遮られてできる影は四角形 になる.

相似から に対して

だから具体的な座標を代入して

および

となり，各の座標は

である．

角度 $\theta$ を固定したときの影，四角形$A_{\theta}B_{\theta}C_{\theta}D_{\theta}$

図 2: 角度 を固定したときの影，四角形

従って を固定した時の影は上図図斜線部になる． ここで四角形の中身を とした. をうごかすと, は, 楕円

の上をくまなく動くから, 影の通過領域は下図斜線部となる.

影が通過する領域 $T$（斜線部）と面積計算の幾何分割

図 3: 影が通過する領域 （斜線部）と面積計算の幾何分割

この面積 は，四隅の楕円，中央の長方形，周囲の長方形に分けて，

である．

【別解】

の座標を設定した後は，点が領域内の点だとしてが板と共有点を持つ条件を考えても良い．

領域内の点を とおくと

だから, 上の点 は,

で表される．はだからこれを代入すると

として，の座標は

である. これが長方形内部なら良いので, , に注意して求める条件は

である．これはを固定した時，下図のような長方形になる． よってを動かせば[解答]と同様の領域を描ける．

[別解] で得られる基準長方形（斜線部）と四隅の楕円軌道

図 4: [別解] で得られる基準長方形（斜線部）と四隅の楕円軌道

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