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東京大学 前期 1990年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1990年 第2問 (解答解説)

📝 問題

3次関数は， 次の条件(i)，(ii)をみたすものとする．

  1. (i)　，．

  2. (ii)　区間で極大値1，極小値-1をとる．

このとき，

  1. を求めよ．

  2. 3次関数が区間でをみたすとき， なる任意の実数に対して不等式が成立することを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$y = h(x)$ のグラフの概形

図 1: のグラフの概形

で が極大値を取るを，極小値を取るをとおくと，題意より

である．よって因数定理より

と書ける．第一式をで微分して

である．これがと等しいから，

である．(式2)の第二式にに代入して

だから，(式2)の第一式と係数を比較して

次定数

である．に注意して整理すると

である．これを(式2)に代入して求める関数は

である．

(2)

$y=h(x), -h(x)$ と任意の関数 $f(x)$ の交差および $|x|>1$ での大小関係

図 2: と任意の関数 の交差および での大小関係

は連続な関数で，を満たす． また(1)から

である．従っては でそれぞれ交わる． は3次関数だから， と定めるとこれも高々次関数である．そこで適当な でない定数 と，

をみたす において

とおける．

まずの符号について，とすると

より，である．

したがっての符号について

においては，においては，の時，の時，

である．

についても同様の議論から，

の時，の時，

である．

(式13),(式14)から

の時

である．

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