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東京大学 前期 1990年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1990年 第1問 (解答解説)

📝 問題

， とするとき， ， を求めよ．

✏️ 解答解説

与えられた数列

について考える．

一般にで与えられた単調減少関数について，は下図の斜線部の短冊部分の合計面積に合致する．

単調減少関数における短冊の面積と定積分の不等式評価

図 1: 単調減少関数における短冊の面積と定積分の不等式評価

$y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ と $y = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ のグラフ

図 2: と のグラフ

従って面積の比較からについて，が十分に大きい時，

および

を得る．ただし(式2)ではでが発散することに注意した．(式2),(式3)で積分を具体的に計算して

および

である．

について

(式5)においてを考えると両辺は正の無限大に発散するから，追い出しの定理から

答

である．

について

(式5),(式7)においてを考えるので各辺が正だとしてよく，整理して

である．の時，両辺ともにに収束するから挟み撃ちの定理より

答

である．

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