東京大学前期 1989年第1問 (解答解説)

【解答】

与えられた曲線を

とする．(式1)を満たすようなの組が存在するようなについて考えれば良い．ただし

である．

(式1)にを代入して辺々足し引きして

である．(式2)よりで両辺を割って

を得る．さらに辺々足し引きして

で，題意よりだから

である．

(式2),(式6)なるの存在条件を求めれば良い．平面にこれらを描画すると下図のようになる．

からにも注意して，従って求めるべき条件は

である．(答)

最後(式6)からの変形だけ何通りか示そう．まず一つ目は(式6)の第一式からとおくことである． (式1)からである．これを(式6)の第二式に代入して

である．この値域を考えて

を得る．

(式6)以下，単に一文字消去しても良い．第二式よりだから，(式2),(式6)に代入して

である．故にこれが解を持つ条件を調べる．とおくとおよび軸がだから，に解持つことが必要で，条件は判別式が正であること，よって

を得る．

(式6)以下，を解に持つ二次方程式を考えても良い．，を解とする次方程式を考えてもよい．，とおけば

だから，考えるべき二次方程式は

である．

これが正の異実解を持てばよいので，判別式として

である．(答)