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東京大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1989年 第5問 (解答解説)

📝 問題

とする． のグラフのの部分と軸とで囲まれた図形を 軸のまわりに回転させてできる立体の体積は で与えられることを示し， この値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

微小区間 $[X, X+\Delta x]$ における $f(x) = \pi x^2 \sin(\pi x^2)$ と評価線 $y=m(X),\, y=M(X)$

図 1: 微小区間 における と評価線

でに注意する．区間内に，をとり，() の範囲での回転体の体積をと書く．また，同区間でのの最大小 値をそれぞれ，とおくと，

が成り立つ．

区間 $[X, X+\Delta x]$ を $y$ 軸の周りに回転させた円筒殻（バウムクーヘン分割の微小体積要素）

図 2: 区間 を 軸の周りに回転させた円筒殻（バウムクーヘン分割の微小体積要素）

の区間でを軸周りに回転させた立体の体積はである．一方でこの区間で定数関数を軸周りに回転させた筒状の体積で上下から評価すると

である．両辺をで割って

である．ここでとすれば

だから，(式4)の両辺はに，真ん中はに，それぞれ収束する． 従って挟み撃ちの定理から

となるので，両辺で積分してより，求める立体の体積は

である．　　

次にこの値を計算する．において とすれば，だから 求める体積は

である．(答)

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