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東京大学 前期 1989年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1989年 第3問 (解答解説)

📝 問題

虚部が正の複素数の全体をとする． すなわち，は実数でとする． 以下をに属する複素数とする． を正の実数とし，とおく．

  1. もまたに属することを示せ．

  2. と書き，以下に対して

    とおく． このとき， のすべての元に対してが成立するようなの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

（，）とおいてを計算すると

．

である．ここで虚部についておよびだから，の虚部は正である．従って，である．

(2)

とおく．からであり，

となる．よっての逆関数は

である．

(1)と同様に，に対し

だから，である．

のとき，にを作用させると

であり，また，にを作用させると

である．

従って，にを5回施して

となり，さらに1回施すと求める条件は

と同値である．

さて，を直接計算して

，

である．(式8)において(式3),(式10)を比較してこれらが任意ので一致する条件を考える．

で分母を払って

が恒等式になれば良い． ここで簡単のため，とおけば，

である．これが恒等式になる必要十分条件は

である．これを解いて

を得る．いずれもを満たすからこれが答えである．

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