【解答】
曲線 を
だけ平行移動した図形は，
である．
これと との共有点がただ1つある時，まず を消去して，
である．この二次方程式が かつ にただ1つ解を持つ条件を調べる．下図のように，の軸 は常にこの範囲にある．
図 1: 共通定義域（斜線部）と放物線 の軸 の関係
よって唯一つ解を持つ条件はがの頂点に等しい時で
である．
この時 だから である．
(式1)に代入して，
である．
とおくと(式6)が を通ることから，
である．
これをみたす がただ3つ存在する条件を考える．
(式7)の右辺を とおいてについての三次方程式とみなして考える．
である．(式7)がについてつの解を持つには，なる点が区間内に存在しないといけない．
これらを図示すると下図である．
図 2: 帯領域 と停留点直線 の関係
従って，図から が必要で， の正負で場合分けする．
の時
この時のの増減表は以下のようになる．
表 1: における の増減表
したがって，(式7)が に3実解を持つ条件は，
である．
の時
この時のの増減表は以下のようになる．
表 2: における の増減表
したがって，(式7)が に3実解を持つ条件は
である．
の値は以下のようになる．
従って，もとめる領域は下図斜線部 (境界は実線のみ含む)である．
図 3: 条件を満たす点 の存在領域（斜線部）．境界は実線部のみ含み白抜きの点は含まない．
【別解】
前半の(式5)を別の方法で導く．
だけ平行移動するとする．
の中点 とする．
の任意の点 の， に関する対称点を とすると，
だから， に代入して
である．
つまり は 上の点である．
したがって， は を中心として点対称である．
よって， の共有点も を中心として点対称だから，
となり，
を得る．
