東京大学 前期 1987年 第3問 (解答解説)

【解答】

球面の方程式はだから，点が上にあることより

が成り立つ． はに垂直で点を通るので，その方程式は

となる．

ゆえにから

である．そこで

とおけば

である．よって三角形の面積は

である．

(式5)の値を代入して

だから，以下(式1)の元で最小値を求める．

まずはを固定して考える．からAM-GMを用いて

である．等号成立はの時である． したがってに注意して

である．さらにより分母にを用いると

ここで(式1)よりだから左辺はより大きい．よって

だから(式17)に代入してを下から評価すると

である． 等号成立はつまりのときである()． 以上の等号成立条件を(式1)に代入すれば

となる．これは(式1)の全ての条件を満たす． 故に求める最小値は(式23)の(答)である．

【別解】

[解]ではAM-GM不等式を2回用いたが，単純な変数固定で順番に変数を動かす方法でも求められる．最小値以外も求めさせるようなケースではこちらの解法を使うことになるだろう．

[解]同様にを固定すると，のとりうる範囲は

だから，は下図の太線部を動く．

従ってこれとの交点を考えて，はで最大値をとる． 従ってを固定した時の面積の最小値は(式13)から

である．次にをの範囲で動かすと，は以下のようになる．

従ってだから，を動かした時のの最小値は

である．