東京大学前期 1987年第5問 (解答解説)

【解答】

数学的帰納法により題意の不等式

を示す．

まずの場合を考える．数列およびと，を並び替えたについて考える．並び替えのパターンとしてはのふた通りである．前者の時は(式1)で等号が成立するので良い．そこで後者の場合を考える．右辺と左辺の差を計算すると

右 辺 左 辺

より(式1)は成立する．以上より全ての場合で(式1)が成立する．

そこで次にでの成立を仮定しての場合を考える．数列が

を満たすとする．の値に応じて場合分けする．

この時はに仮定を適用できるからの(式1)の右辺と左辺の差は

右 辺 左 辺 仮 定

だからでも(式1)は成立する．

は以外のある () に等しく，は以外のある () に等しい．ここで，次のような数列をかんがえる．

この時とにおいて，であり，の時はをならびかえたものだから仮定から

が成り立つ．

一方でとを比較すると

である．

となり，でも(式1)は成立する．

以上より数学的帰納法により任意のについて(式1)が成立する．よって題意は示された．

数列に対し，まずと () を順に比較し，の時に限りとを交換し，交換後のに対し，交換後のの次の項以下について同様の操作を続ける．次に交換後のと () について上と同様の作業をくり返す．この操作が全て終了すると，はとなる．

次に各操作において () の時とを交換後となったとすると，

だから，

したがって，の操作後の値をとすればとなる．全ての操作がおわった時のことをかんがえて

である．