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東京大学 前期 1987年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1987年 第4問 (解答解説)

📝 問題

空間において，点は平面上の放物線上にあるとする． 点とを結ぶ直線を軸のまわりに回転して得られる曲面と 二平面，とによって囲まれる部分の体積をとする． をの座標で表せ． またの最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$yz$平面上の放物線とベクトル$\overrightarrow{AP}$（$0<t<1$の例）

図 1: 平面上の放物線とベクトル（の例）

題意よりが平面，すなわち上の放物線にあるから，パラメータを用いてとおく．また点だからベクトルとする．題意の直線の方向ベクトルははであるから，この直線上の点は

と書ける．

とするとだから，の座標は ，である． したがって，直線を軸周りに回転した軌跡のでの切断面は，を軸周りに回転した円に等しく，下図のようになる．

平面$x=k$での断面．$X$は$x$軸上の点$H$を中心とする円を描く．

図 2: 平面での断面．は軸上の点を中心とする円を描く．

この円の半径は

だから，この平面での断面積は

となる．よって領域の体積は

答

である．

よっての最小値はのときの

答

である．

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