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東京大学 前期 1986年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1986年 第4問 (解答解説)

📝 問題

二次方程式の係数，，が，それぞれ次の範囲を動くものとする．

  1. このとき， を座標とする点の動く範囲を定め，図示せよ．

  2. 上の二次方程式の二つの解のうち，大きい方をとする． ，，が上の範囲を動くときの，の最大値，最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

まず を固定する． だから，の動く範囲は

である．これを平面に図示すると下図のような長方形の内部及び周になる． 各点の座標は

である．

固定された $a > 0$ に対する $(u,v)$ 平面上の長方形領域 $ABCD$

図 1: 固定された に対する 平面上の長方形領域

次に の範囲で を動かす．長方形の頂点 はそれぞれ

を動くので，動く範囲は下図斜線部 (境界含む)である．

$0.9 \le a \le 1.1$ で $a$ を動かしたときの $(u,v)$ 平面上の存在領域（境界含む斜線部）

図 2: で を動かしたときの 平面上の存在領域（境界含む斜線部）

(2)

まず の存在条件からの判別式が 0 以上だから

である．

$(u,v)$ の存在領域と判別式条件 $u^2 - v \ge 0$

図 3: の存在領域と判別式条件

上図から，(1)で求めた領域を が動く時，(式5)は常に満たされる．

そこで具体的にを計算すると二次関数の解の公式から

である．

ここで(1) で求めた領域は式にすると，

の時，の時，

である．を固定したとき(式6)ではの単調減少関数だから(式7)の上端・下端でその最大・最小値をとる．すなわち

の時，の時，

である．

$u$ に対する $z$ の最大値・最小値のグラフ

図 4: に対する の最大値・最小値のグラフ

次に を動かす．(式8)はいずれもの範囲では単調増加で，かつで連続であるから，が最小値をとるのはの時，最大値をとるのはの時で，それぞれ値は

である．

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