東京大学前期 1986年第6問 (解答解説)

直円錐形のグラスに水が満ちている．水面の円の半径は1，深さも1である．

このグラスを右の図のように角度だけ傾けたとき，できる水面は楕円である．この楕円の中心からグラスのふちを含む平面までの距離と，楕円の長半径および短半径を，で表せ．ただし楕円の長半径，短半径とは，それぞれ長軸，短軸の長さののことである．
傾けたときこぼれた水の量が，最初の水の量のであるとき，の値を求めよ．ただしグラスの円錐の頂点から，新しい水面までの距離をとするとき，残った水の量は，に等しいことを用いよ．

【解答】

(1)

水面 $AC$ を水平にしたときの円錐の傾き断面（$H$ は中心軸と $AB$ の交点） — 図 2: 水面を水平にしたときの円錐の傾き断面（は中心軸との交点）

上図のように各点，図形量をおく．円錐の軸と母線のなす角はであり，もとの水面の縁の円のうち，傾ける向きで最も低い点を，最も高い点をとすると，である．題意より

である．

新しい水面はを通り，もとの水面（直線）とのなす角がの直線で，辺と点で交わる．

とおくと，に注目して加法定理より

だから，に三平方の定理を用いて

である．

さて，楕円の中心はの中点だから(式4)より

となる．またから

である．以上(式5),(式6)より，楕円の中心から直線ABへの距離は

答

となる．

次に楕円の長半径, 短半径を検討する．まず，を通りに平行な直線と円錐の軸の交点をとすると，

である．

また，楕円の中心との距離は

である．

点 $D$ を含み中心軸に垂直な円錐断面（半径 $\dfrac{1}{1+m}$ の円）と短半径 $b = |DF|$ — 図 3: 点を含み中心軸に垂直な円錐断面（半径の円）と短半径

従ってを含み軸に垂直な平面での円錐切り口は上図のような，半径の円である．ここで図のようにを定めると，が長半径または単半径に当たる．に三平方の定理を用いて，(式8),(式11)より

である．

のうち大きい方がであり，もう一方がだから(式7),(式12)より

答

である．

(2)

(2) における直角三角形 $\triangle OAC$ と水面への垂線の高さ $h$ — 図 4: (2) における直角三角形と水面への垂線の高さ

最初円錐に入っていた水の量は

だから，残った水の量はこの半分で

である．題意よりこれがに等しいから

である．

は(1)で求めているのでについて検討する．の面積を2通りで表して，

である．ここに(式3),(式4)を代入して

である．

従って(式13)と合わせて(式16)に代入して

だから両辺を2乗して，

答

である．

【別解】

[解答]では幾何学的な計算を一貫したが，座標系をおいた(1)の解答も示す．

(1)

を原点，新たな水面が平面と平行になるように空間をおく．もとのが平面にあるようにした．

別解用：水面を $xy$ 平面にとった $xyz$ 直交座標系と中心軸ベクトル $\vec{l}$ — 図 5: 別解用：水面を平面にとった直交座標系と中心軸ベクトル

この時軸の方向ベクトルは，

である．円錐側面上の点について，

が成り立つから，(式24)を代入して

となる．両辺2乗して，

である．

特に水面の点はだから，(式28)に代入して

である．これが水面の楕円の方程式である．

従って中心が（平面への正射影で），長半径，短半径が

の楕円である．

楕円の中心と，平面（）との距離がだから，点と直線の距離の公式から

である．

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【解答】

(1)

(2)

【別解】

(1)