東京大学 前期 1986年 第2問 (解答解説)

【解答】

題意の領域の境界を与える楕円をとするとこれらの方程式は

である．の交点のうちにあるものを,にあるものをとする． 題意より の囲む領域の面積が である．の面積を求めよう．

そこで なる変換を行い，変換された各点や図形ををつけて を のように表す．するとは変換後に円になる：

また，この変換で の面積は の面積の 倍にあたる：

さて の座標は(式2)を連立してまずを消去すると

だから，(式2)に代入して座標を計算すると

である．

図のように軸と線分のなす角とすると

だから，の半角公式より

である．

従って，面積は上図の斜線部の弓形面積の倍の領域で

である．よって(式3)に代入して

が求める面積である．

【別解】

の座標が求まったあと，積分をせずに初等計算で弓形の面積は計算できる． 検算として活用したい．

従って図の斜線部の面積（対称性から）は扇形から対応する三角形を減じたもので，

であり，(式3)に代入して

である．